4-5 Lagrange插值多項式&泰勒展開式

設多項式函數y = f (x)的圖形通過(0,1)、(1,1.5)、(2, 2.25)，試求出滿足此

條件最低次的多項式。

(0,1)、(1,1.5)、(2, 2.25)三點也是圖形上的三點，若不計算兩者的誤差，在區間［0, 2.25］內大概很難看出有何差異，但在［0, 2.25］的外面就可明顯看出兩者的不同了。

給A(2 , 4)、B(3 , 5)、C(-3 , 6)、D(1 , 6)，求通過此四點的最低次多項式：輸入Polynomial[{A, B, C, D}]，調整ABCD的坐標，觀察圖形變化，如果新增第 5 點E，則修改f(x)屬性，在定義裡面將Polynomial[{A, B, C, D}]改成Polynomial[{A, B, C, D, E}]，這樣變成求通過此 5 點的最低四次多項式。

得到最逼近的三次函數 f(x)=0.32x³-0.4x²-3.02x+9.1，若調整選項中的小數點位數為4位，可得f(x)=0.3167x³-0.4x²-3.0167x+9.1。4.1板之前，小數點只能呈現最逼近的函數，4.2版以後使用SurdText[]函數，可在幾何圖形區呈現分數，插值多項式為。

步驟：

1. f(x)=Polynomial[{A, B, C, D}]
2. list1= Coefficients[f]

3. a= SurdText[Element[list1, 1]]

4. b= SurdText[Element[list1, 2]]

5. c= SurdText[Element[list1, 3]]

6. d= SurdText[Element[list1, 4]]

7. 插入文字text1如右圖

4-5-2 泰勒展開式

一個定義在開區間（a-r, a+r）上的無窮可微實變函數或複變函數f 的泰勒級數是如下的冪級數：

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad \forall x$